閱讀材料：三角形的三條中線必交於一點，這個交點稱為三角形的重心．（1）特例感知：如圖（一），已知邊長為2的等邊...

問題詳情：

閱讀材料：三角形的三條中線必交於一點，這個交點稱為三角形的重心．

（1）特例感知：如圖（一），已知邊長為2的等邊的重心為點，求與的面積．

（2）*質探究：如圖（二），已知的重心為點，請判斷、是否都為定值？如果是，分別求出這兩個定值：如果不是，請說明理由．

（3）*質應用：如圖（三），在正方形中，點是的中點，連線交對角線於點．

①若正方形的邊長為4，求的長度；

②若，求正方形的面積．

【回答】

（1），；（2）都是定值，，；（3）①；②12．

【解析】

（1）連線DE，利用相似三角形*，運用勾股定理求出AD的長，運用三角形面積公式求解即可；

（2）根據（1）的*可求解；

（3）①*△CME∽△ABM得，再運用勾股定理求出BE的長即可解決問題；

②分別求出S△BMC和S△ABM 即可.

【詳解】

（1）連線DE，如圖，

∵點O是的重心，

，是，C邊上的中線，

為，邊上的中點，

為的中位線，

，，

，

，

，

，，

（2）由（1）可知，是定值；

是定值；

（3）①∵四邊形ABCD是正方形，

，，

為CD的中點，

，即；

，

又

∴正方形ABCD的面積為：6+6=12．

【點睛】

本題考查的是三角形重心的*質、全等三角形的判定與*質、勾股定理及相似三角形的判定與*質，解答此題的關鍵是靈活運用三角形重心的*質．

知識點：相似三角形

題型：解答題