已知點A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩...
問題詳情:
已知點A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,則b的取值範圍是________
【回答】
【詳解】解法一:由題意可得,三角形ABC的面積為 =1,
由於直線y=ax+b(a>0)與x軸的交點為M(﹣,0),
由直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分,可得b>0,
故﹣≤0,故點M在*線OA上.
設直線y=ax+b和BC的交點為N,則由可得點N的座標為(,).
①若點M和點A重合,則點N為線段BC的中點,故N(,),
把A、N兩點的座標代入直線y=ax+b,求得a=b=.
②若點M在點O和點A之間,此時b>,點N在點B和點C之間,
由題意可得三角形NMB的面積等於,
即=,即 =,可得a=>0,求得 b<,
故有<b<.
③若點M在點A的左側,則b<,由點M的橫座標﹣<﹣1,求得b>a.
設直線y=ax+b和AC的交點為P,則由 求得點P的座標為(,),
此時,由題意可得,三角形CPN的面積等於,即 •(1﹣b)•|xN﹣xP|=,
即(1﹣b)•|﹣|=,化簡可得2(1﹣b)2=|a2﹣1|.
由於此時 b>a>0,0<a<1,∴2(1﹣b)2=|a2﹣1|=1﹣a2 .
兩邊開方可得 (1﹣b)=<1,∴1﹣b<,化簡可得 b>1﹣,
故有1﹣<b<.
再把以上得到的三個b的範圍取並集,可得b的取值範圍應是 ,
解法二:當a=0時,直線y=ax+b(a>0)平行於AB邊,
由題意根據三角形相似且面積比等於相似比的平方可得=,b=1﹣,趨於最小.
由於a>0,∴b>1﹣.
當a逐漸變大時,b也逐漸變大,
當b=時,直線經過點(0,),再根據直線平分△ABC的面積,故a不存在,故b<.
綜上可得,1﹣<b<,
故*為:.
【點睛】本題主要考查確定直線的要素,點到直線的距離公式以及三角形的面積公式的應用,還考察運算能力以及綜合分析能力,分類討論思想,屬於難題.
知識點:直線與方程
題型:填空題
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