在平面直角座標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2﹣y2=1．（1）過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線，求...

問題詳情：

在平面直角座標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2﹣y2=1．

（1）過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；

（2）過點Q作直線l與雙曲線C1有且只有一個交點，求直線l的方程；

（3）設橢圓C2：4x2+y2=1．若M、N分別是C1、C2上的動點，且OM⊥ON，求*：O到直線MN的距離是定值．

【回答】

考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題．

專題： 綜合題；圓錐曲線的定義、*質與方程．

分析： （1）求出雙曲線的漸近線方程，求出直線與另一條漸近線的交點，然後求出三角形的面積．

（2）過點Q作直線l與雙曲線C1有且只有一個交點，直線l與雙曲線的漸近線平行，可得結論；

（3）當直線ON垂直x軸時，直接求出O到直線MN的距離為．當直線ON不垂直x軸時，設直線ON的方程為：y=kx，（顯然|k|＞），推出直線OM的方程為y=x，利用，求|ON|2=．同理|OM|2=，設O到直線MN的距離為d，通過（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，求出d=．推出O到直線MN的距離是定值．

解答： 解：（1）雙曲線C1：2x2﹣y2=1左頂點A（﹣，0），

漸近線方程為：y=±x．

過A與漸近線y=x平行的直線方程為y=（x+），即y=x+1，

所以，解得．

所以所求三角形的面積為S=|OA||y|=；

（2）由題意，直線的斜率存在，

∵過點Q作直線l與雙曲線C1有且只有一個交點，

∴直線l與雙曲線的漸近線平行，

∵漸近線的斜率為±，

∴直線l的方程為y﹣=（x+），即y=x+2+或y=﹣x﹣2+；

（3）當直線ON垂直x軸時，|ON|=1，|OM|=，則O到直線MN的距離為．

當直線ON不垂直x軸時，設直線ON的方程為：y=kx，（顯然|k|＞），

則直線OM的方程為y=x，由得，

所以|ON|2=．

同理|OM|2=，

設O到直線MN的距離為d，

因為（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，

所以=+=3，

即d=．

綜上，O到直線MN的距離是定值．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題