已知以點(t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交於點O、A，與y軸交於點O、B，其中O為原點．(1)求*：△OAB...

問題詳情：

已知以點 (t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交於點O、A，與y軸交於點O、B，其中O為原點．

(1)求*：△OAB的面積為定值；

(2)設直線y＝－2x＋4與圓C交於點M、N，若|OM|＝|ON|，求圓C的方程．

【回答】

 ∵圓C過原點O，∴r2＝t2＋．

設圓C的方程是(x－t)2＋2＝t2＋，

令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，

得x1＝0，x2＝2t．

∴S△OAB＝OA×OB＝××|2t|＝4，

即△OAB的面積為定值．

(2)解　∵OM＝ON，CM＝CN，

∴OC垂直平分線段MN．

∵kMN＝－2，∴kOC＝．

∴直線OC的方程是y＝x．

∴＝t．解得t＝2或t＝－2．

當t＝2時，圓心C的座標為(2,1)，OC＝，

此時C到直線y＝－2x＋4的距離d＝<，

圓C與直線y＝－2x＋4相交於兩點．

當t＝－2時，圓心C的座標為(－2，－1)，OC＝，

此時C到直線y＝－2x＋4的距離d＝>，

圓C與直線y＝－2x＋4不相交，

∴t＝－2不符合題意，捨去．

∴圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5．

知識點：圓與方程

題型：解答題