已知拋物線C：y2＝4x和直線l：x＝－1.(1)若曲線C上存在一點Q，它到l的距離與到座標原點O的距離相等，...

問題詳情：

已知拋物線C：y2＝4x和直線l：x＝－1.

(1)若曲線C上存在一點Q，它到l的距離與到座標原點O的距離相等，求Q點的座標；

(2)過直線l上任一點P作拋物線的兩條切線，切點記為A，B，求*：直線AB過定點.

【回答】

 (1)解　設Q(x，y)，則(x＋1)2＝x2＋y2，即y2＝2x＋1，

由解得Q.

(2)*　設過點(－1，t)的直線方程為y－t＝k(x＋1)(k≠0)，代入y2＝4x，得ky2－4y＋4t＋4k＝0，由Δ＝0，得k2＋kt－1＝0，

特別地，當t＝0時，k＝±1，切點為A(1，2)，B(1，－2)，顯然AB過定點F(1，0).

一般地方程k2＋kt－1＝0有兩個根，

∴k1＋k2＝－t，k1k2＝－1，

∴兩切點分別為A，B，∴＝，＝，

又－＝2＝0，

∴與共線，又與有共同的起點F，∴A，B，F三點共線，∴AB過點F(1，0)，  綜上，直線AB過定點F(1，0).

知識點：圓錐曲線與方程

題型：綜合題