在某海濱城市附近海面有一臺風,據監測,當前颱風中心位於城市O(如圖)的東偏南方向300km的海面P處,並以20...
問題詳情:
在某海濱城市附近海面有一臺風,據監測,當前颱風中心位於城市O(如圖)的東偏南方向300 km的海面P處,並以20 km/h的速度向西偏北45°方向移動.颱風侵襲的範圍為圓形區域,當前半徑為60 km,並以10 km/h的速度不斷增大,問幾小時後該城市開始受到颱風的侵襲?
【回答】
解法一:設在時刻t(h)颱風中心為Q,此時颱風侵襲的圓形區域半徑為10t+60 (km).
若在時刻t城市O受到颱風的侵襲,則OQ≤10t+60.
由余弦定理知
由於 PO=300,PQ=20t,
cos∠OPQ=cos(θ-45°)
=cosθcos45°+sinθsin45°
故
因此 202t2-9600t+3002≤(10t+60)2,
即 t2-36t+288≤0,
解得 12≤t≤24.
答:12小時後該城市開始受到颱風的侵襲.
解法二:如圖建立座標系:以O為原點,正東方向為x軸正向,
在時刻t(h)颱風中心的座標為
此時颱風侵襲的區城是
其中r(t)=10t+60.
若在t時刻城市O受到颱風的侵襲,則有
即 ≤(10t+60)2,
即 r2-36t+288≤0,
解得 12≤t≤24.
答:12小時後該城市開始受到颱風的侵襲.
知識點:三角函式
題型:計算題
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