如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內接正三角形，為上一點，∠APC=90°．（1）*：平面PAB...

問題詳情：

如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，是底面的內接正三角形，為上一點，∠APC=90°．

（1）*：平面PAB⊥平面PAC；

（2）設DO=，圓錐的側面積為，求三稜錐P−ABC的體積.

【回答】

（1）*見解析；（2）.

【分析】

（1）根據已知可得，進而有≌，可得

，即，從而*得平面，即可*得結論；

（2）將已知條件轉化為母線和底面半徑的關係，進而求出底面半徑，由正弦定理，求出正三角形邊長，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出結論.

【詳解】

（1）連線，為圓錐頂點，為底面圓心，平面，

在上，，

是圓內接正三角形，，≌，

，即，

平面平面，平面平面；

（2）設圓錐的母線為，底面半徑為，圓錐的側面積為，

，解得，，

在等腰直角三角形中，，

在中，，

三稜錐的體積為.

【點睛】

本題考查空間線、面位置關係，*平面與平面垂直，求錐體的體積，注意空間垂直間的相互轉化，考查邏輯推理、直觀想象、數學計算能力，屬於中檔題.

知識點：空間幾何體

題型：解答題