如圖①,兩個全等的等腰直角△ABC和△EDC中,∠ACB=∠ECD=90°,點A與點E重合,點D與點B重合.現...
問題詳情:
如圖①,兩個全等的等腰直角△ABC和△EDC中,∠ACB=∠ECD=90°,點A與點E重合,點D與點B重合.現△ABC不動,把△EDC繞點C按順時針方向旋轉,旋轉角為α(0°<α<90°).
(1)如圖②,AB與CE交於F,ED與AB、BC分別交於M、H.求*:CF=CH;
(2)如圖③,當α=45°時,試判斷四邊形ACDM是什麼四邊形,並說明理由;
(3)如圖②,在△EDC繞點C旋轉的過程中,連線BD,當旋轉角α的度數為 時,△BDH是等腰三角形.
【回答】
(1)*:∵△ABC和△EDC是全等的等腰直角三角形,
∴∠A=∠B=∠E=∠D=45°,CA=CB=CE=CD,
∵△ABC不動,把△EDC繞點C按順時針方向旋轉,旋轉角為α,
∴CA=CD,∠A=∠D,∠ACE=∠BCD=α,
在△CAF和△CDH中
,
∴△CAF≌△CDH,
∴CF=CH;
(2)解:四邊形ACDM是菱形.理由如下:
∵∠ACE=∠BCD=45°,
而∠A=45°,
∴∠AFC=90°,
而∠FCD=90°,
∴AB∥CD,
同理可得AC∥DE,
∴四邊形ACDM是平行四邊形,
而CA=CD,
∴四邊形ACDM是菱形;
(3)解:∵CB=CD,∠BCD=α,
∴∠CBD=∠CDB=(180°﹣α),
∴∠HBD>∠BDH,
∴當DB=DH或BH=BD時,△BDH是等腰三角形,
∵∠BHD=∠HCD+∠HDC=α+45°,
當DB=DH,則∠HBD=∠BHD,即(180°﹣α)=α+45°,解得α=30°;
當BH=BD,則∠BHD=∠BDH,即α+45°=(180°﹣α)﹣45°,解得α=0(捨去),
∴α=30°,
即當旋轉角α的度數為30°時,△BDH是等腰三角形.
故*為30°.
知識點:中心對稱
題型:解答題
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