已知函數，其中a爲常數.(1)若f(x)的圖象在x=1處的切線經過點(3，4)，求實數a的值；(2)若0<...

問題詳情：

已知函數，其中a爲常數.

(1)若f(x)的圖象在x=1處的切線經過點(3，4)，求實數a的值；

(2)若0<a<1，求*：；

(3)當函數存在三個不同的零點時，求實數a的取值範圍

【回答】

（1） ；（2）詳見解析；（3） .

【詳解】

試題分析：(1)根據導數的幾何意義可得：，再結合斜率公式進而得出的值；(2)表示出，然後構造函數通過討論函數的單調**；(3)將函數零點的問題轉化爲函數圖像與軸交點個數的問題，通過導數討論函數的單調*來解決.

試題解析：由題知

（Ⅰ）

（Ⅱ），令，

則

∴時，單調遞減，

故時，，

∴當時，

（Ⅲ）

①

∴至多隻有一個零點，不合題意；

②

∴至多隻有一個零點，不合題意；

③

此時，在上遞減，上遞增，上遞減，所以，至多有三個零點.因爲在遞增，所以，又因爲，所以，使得，又，所以恰有三個不同零點：，所以函數存在三個不同的零點時，的取值範圍是.

考點：函數與導數綜合應用.

知識點：導數及其應用

題型：解答題