已知函數y=f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）當a＞0時，若f（x）滿足：y極小值=1，y極大...

問題詳情：

已知函數y=f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．

（1）當a＞0時，若f（x）滿足：y極小值=1，y極大值=，試求f（x）的解析式；

（2）若x∈[0，1]時，y=f（x）圖象上的任意一點處的切線斜率k滿足：|k|≤1，求a的取值範圍．

【回答】

【詳解】（1）（x）=-3x2+2ax=0得x=0或x=．

a＞0時，x變化時f'（x），f（x）變化如下表：

所以f（0）=b=1，,解得a=1，b=1．故f（x）=-x3+x2+1；

（2）由題設x∈[0，1]時，恆有|k|=|f′（x）|≤1，

即-1≤-3x2+2ax≤1在x∈[0，1]上恆成立．

當x=0時，a∈R；

當x∈（0，1]時，由-3x2+2ax≥-1恆成立，即2ax≥3x2-1，

y=在（0，1]上爲增函數

所以a≥1

另一方面，由-3x2+2ax≤1恆成立，所以（當且僅當x=時，取最值）．

綜上所述：．

【點睛】本題考查函數極值，導數幾何意義，不等式恆成立問題，準確計算是關鍵，是中檔題

知識點：導數及其應用

題型：解答題