設函數,爲正實數.(1)當時,求曲線在點處的切線方程;(2)求*:;(3)若函數有且只有個零點,求的值.
問題詳情:
設函數,爲正實數.
(1)當時,求曲線在點處的切線方程;
(2)求*:;
(3)若函數有且只有個零點,求的值.
【回答】
(1)當時,,則,
所以,又,
所以曲線在點處的切線方程爲
(2)因爲,設函數,
則,
令,得,列表如下:
極大值 |
所以的極大值爲.
所以.
(3),,
令,得,因爲,
所以在上單調增,在上單調減.
所以.
設,因爲函數只有1個零點,而,
所以是函數的唯一零點.
當時,,有且只有個零點,
此時,解得.
下*,當時,的零點不唯一.
若,則,此時,即,則.
由(2)知,,又函數在以和爲端點的閉區間上的圖象不間斷,
所以在和之間存在的零點,則共有2個零點,不符合題意;
若,則,此時,即,則.
同理可得,在和之間存在的零點,則共有2個零點,不符合題意.
因此,所以的值爲.
知識點:不等式
題型:解答題
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