如图,AB是⊙O的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,弦DF与半径OB相交于点P,连接EF、EO,若DE=...
问题详情:
如图,AB是⊙O的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,弦DF与半径OB相交于点P,连接EF、EO,若DE=2,∠DPA=45°.
(1)求⊙O的半径;
(2)求图中*影部分的面积.
【回答】
(1);(2)π﹣.
【分析】
(1)根据垂径定理得CE的长,再根据已知DE平分AO得CO=AO=OE,根据勾股定理列方程求解.
(2)先求出扇形的圆心角,再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可.
【详解】
解:(1)连接OF,
∵直径AB⊥DE,
∴CE=DE=1.
∵DE平分AO,
∴CO=AO=OE.
设CO=x,则OE=2x.
由勾股定理得:12+x2=(2x)2.
x=.
∴OE=2x=.
即⊙O的半径为.
(2)在Rt△DCP中,
∵∠DPC=45°,
∴∠D=90°﹣45°=45°.
∴∠EOF=2∠D=90°.
∴S扇形OEF==π.
∵∠EOF=2∠D=90°,OE=OF=
SRt△OEF==.
∴S*影=S扇形OEF﹣SRt△OEF=π﹣.
【点睛】
本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系.
知识点:圆的有关*质
题型:解答题
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