在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于点A,B(A在B的左侧),抛物线的对称轴与x轴交于点D,且OB=2O...
问题详情:
在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于点A,B(A在B的左侧),抛物线的对称轴与x轴交于点D,且OB=2OD.
(1)当时,
①写出抛物线的对称轴;
②求抛物线的表达式;
(2)存在垂直于x轴的直线分别与直线:和抛物线交于点P,Q,且点P,Q均在x轴下方,结合函数图象,求b的取值范围.
【回答】
(1)①;②;(2)或.
【分析】
(1)①由二次函数的对称轴方程可得出*;
②根据题意求出B点坐标为(2,0),代入抛物线解析式可得出*;
(2)求出E(-,0),点D的坐标为(-,0).①当b>0时,得出点A的坐标为(-2b,0),点B的坐标为(b,0),则-2b<-,解不等式即可;②当b<0时,点A的坐标为(0,0),点B的坐标为(-b,0),则0<-,解出b<-2.
【详解】
解:(1)当时,化为.
①.
②∵抛物线的对称轴为直线,
∴点D的坐标为(-1,),OD=1.
∵OB=2OD,
∴ OB=2.
∵点A,点B关于直线对称,
∴点B在点D的右侧.
∴ 点B的坐标为(,).
∵抛物线与x轴交于点B(,),
∴ .
解得.
∴抛物线的表达式为.
(2)设直线与x轴交点为点E,
当y=0时,
∴
∴ E(,0).
抛物线的对称轴为,
∴点D的坐标为(,).
①当时,.
∵OB=2OD,
∴ OB=b.
∴ 点A的坐标为(,),点B的坐标为(b,).
当<时,存在垂直于x轴的直线分别与直线:和抛物线交于点P,Q,且点P,Q均在x轴下方,
解得.
②当时,.
∴ .
∵OB=2OD,
∴ OB=-b.
∵抛物线与x轴交于点A,B,且A在B的左侧,
∴ 点A的坐标为(,),点B的坐标为(-b,).
当0<时,存在垂直于x轴的直线分别与直线:和抛物线交于点P,Q,且点P,Q均在x轴下方,
解得b<-2.
综上,b的取值范围是或.
【点睛】
本题考查了二次函数的*质,二次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求函数解析式,熟练掌握二次函数的*质及数形结合思想是解题的关键.
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题
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