已知圆F1：（x+1）2+y2=r2与圆F2：（x﹣1）2+y2=（4﹣r）2（0＜r＜4）的公共点的轨迹为曲...

问题详情：

已知圆F1：（x+1）2+y2=r2与圆F2：（x﹣1）2+y2=（4﹣r）2（0＜r＜4）的公共点的轨迹为曲线E，且曲线E与y轴的正半轴相交于点M．若曲线E上相异两点A、B满足直线MA，MB的斜率之积为．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）*直线AB恒过定点，并求定点的坐标；

（Ⅲ）求△ABM的面积的最大值．

【回答】

【考点】J3：轨迹方程．

【分析】（Ⅰ）确定|QF1|+|QF2|=4＞|F1F2|，可得曲线E是长轴长2a=4，焦距2c=2的椭圆，且b2=a2﹣c2=3，即可求E的方程；

（Ⅱ）分类讨论，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线MA，MB的斜率之积为，即可*直线AB恒过定点，并求定点的坐标；

（Ⅲ）求出△ABM的面积，利用基本不等式求出最大值．

【解答】解：（Ⅰ）设⊙F1，⊙F2的公共点为Q，由已知得，|F1F2|=2，|QF1|=r，|QF2|=4﹣r，

故|QF1|+|QF2|=4＞|F1F2|，

因此曲线E是长轴长2a=4，焦距2c=2的椭圆，且b2=a2﹣c2=3，

所以曲线E的方程为

（Ⅱ）由曲线E的方程得，上顶点，由题意知，x1≠0，x2≠0．

若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为，

故y1=﹣y2，，

因此，

与已知不符，因此直线AB的斜率存在

设直线AB：y=kx+m，代入椭圆E的方程（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0①

因为直线AB与曲线E有公共点A，B，所以方程①有两个非零不等实根x1，x2

所以，

又，

由得，，

即，

所以，

化简得，

故m=．

结合，

即直线AB恒过定点N（0，2．

（Ⅲ）由

又====

当且仅当4k2﹣9=12，即时，△ABM的面积最大，最大值为

知识点：圆与方程

题型：解答题