.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点...

问题详情：

.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为_____．

【回答】

2

【解析】

分析：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，易得四边形OECF为矩形，由△AOP为等腰直角三角形得到OA=OP，∠AOP=90°，则可*△OAE≌△OPF，所以AE=PF，OE=OF，根据角平分线的*质定理的逆定理得到CO平分∠ACP，从而可判断当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，接着*CE=（AC+CP），然后分别计算P点在D点和B点时OC的长，从而计算它们的差即可得到P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长．

详解：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，

∵△AOP为等腰直角三角形，

∴OA=OP，∠AOP=90°，

易得四边形OECF矩形，

∴∠EOF=90°，CE=CF，

∴∠AOE=∠POF，

∴△OAE≌△OPF，

∴AE=PF，OE=OF，

∴CO平分∠ACP，

∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，

∵AE=PF，

即AC-CE=CF-CP，

而CE=CF，

∴CE=（AC+CP），

∴OC=CE=（AC+CP），

当AC=2，CP=CD=1时，OC=×（2+1）=，

当AC=2，CP=CB=5时，OC=×（2+5）=，

∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长=-=2．

故*为2．

点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何*质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与*质．

知识点：特殊的平行四边形

题型：解答题