已知二次函数f（x）的值域为[–9，+∞），且不等式f（x）<0的解集为（–1，5）．（1）求f（x）的...

问题详情：

已知二次函数f（x）的值域为[–9，+∞），且不等式f（x）<0的解集为（–1，5）．

（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y=f（）的值域．

【回答】

【解析】（1）函数f（x）是二次函数，设为f（x）=ax2+bx+c，

不等式f（x）<0的解集为（–1，5），

则–1和5是对应方程ax2+bx+c=0的两不等实根，且a>0，

所以由根与系数关系可得：

–1+5，①

（–1）×5，②（3分）

因为二次函数f（x）的值域为[–9，+∞），

则有9；函数的对称轴为：x2，

即函数的顶点坐标为：（2，–9），即4a+2b+c=–9，③

由①②③可得：a=1，b=–4，c=–5，

所以二次函数f（x）=x2–4x–5．（6分）

（2）函数y=f（）中，令t，则t∈[0，3]，

所以函数y=f（t）=t2–4t–5=（t–2）2–9，（9分）

当t=2时，f（t）取得最小值为f（2）=–9，

当t=0时，f（t）取得最大值为f（0）=–5，

所以f（t）的值域为[–9，–5]，

即函数y的值域为[–9，–5]．（12分）

知识点：不等式

题型：解答题