某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+...
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某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.
(1)求a的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
【回答】
解 (1)因为x=5时,y=11,所以+10=11,
所以a=2.
(2)由(1)可知,该商品每日的销售量
y=+10(x-6)2,
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)=(x-3)[ +10(x-6)2]=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6.
从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]
=30(x-4)(x-6).
于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x | (3,4) | 4 | (4,6) |
f′(x) | + | 0 | - |
f(x) | 单调递增 | 极大值42 | 单调递减 |
由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.
所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.
答 当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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