已知以点(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点.(1)求*:△OAB...
问题详情:
已知以点 (t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点.
(1)求*:△OAB的面积为定值;
(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M、N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程.
【回答】
∵圆C过原点O,∴r2=t2+.
设圆C的方程是(x-t)2+2=t2+,
令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,
得x1=0,x2=2t.
∴S△OAB=OA×OB=××|2t|=4,
即△OAB的面积为定值.
(2)解 ∵OM=ON,CM=CN,
∴OC垂直平分线段MN.
∵kMN=-2,∴kOC=.
∴直线OC的方程是y=x.
∴=t.解得t=2或t=-2.
当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=,
此时C到直线y=-2x+4的距离d=<,
圆C与直线y=-2x+4相交于两点.
当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),OC=,
此时C到直线y=-2x+4的距离d=>,
圆C与直线y=-2x+4不相交,
∴t=-2不符合题意,舍去.
∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
知识点:圆与方程
题型:解答题
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