如图,抛物线与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且x1<x2,与y轴交于点C(0,﹣4),其中x1,...
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如图,抛物线与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且x1<x2,与y轴交于点C(0,﹣4),其中x1,x2是方程x2﹣4x﹣12=0的两个根.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是线段AB上的一个动点,过点M作MN∥BC,交AC于点N,连接CM,当△CMN的面积最大时,求点M的坐标;
(3)点D(4,k)在(1)中抛物线上,点E为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点F,使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(1)根据一元二次方程解法得出A,B两点的坐标,再利用交点式求出二次函数解析式;
(2)首先判定△MNA∽△BCA.得出,进而得出函数的最值;
(3)分别根据当AF为平行四边形的边时,AF平行且等于DE与当AF为平行四边形的对角线时,分析得出符合要求的*.
【解答】解:(1)∵x2﹣4x﹣12=0,
∴x1=﹣2,x2=6.
∴A(﹣2,0),B(6,0),
又∵抛物线过点A、B、C,故设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x﹣6),
将点C的坐标代入,求得,
∴抛物线的解析式为;
(2)设点M的坐标为(m,0),过点N作NH⊥x轴于点H(如图(1)).
∵点A的坐标为(﹣2,0),点B的坐标为(6,0),
∴AB=8,AM=m+2,
∵MN∥BC,∴△MNA∽△BCA.
∴,
∴,
∴,
∴,
=,
=.
∴当m=2时,S△CMN有最大值4.
此时,点M的坐标为(2,0);
(3)∵点D(4,k)在抛物线上,
∴当x=4时,k=﹣4,
∴点D的坐标是(4,﹣4).
①如图(2),当AF为平行四边形的边时,AF平行且等于DE,
∵D(4,﹣4),∴DE=4.
∴F1(﹣6,0),F2(2,0),
②如图(3),当AF为平行四边形的对角线时,设F(n,0),
∵点A的坐标为(﹣2,0),
则平行四边形的对称中心的横坐标为:,
∴平行四边形的对称中心坐标为(,0),
∵D(4,﹣4),
∴E'的横坐标为:﹣4+=n﹣6,
E'的纵坐标为:4,
∴E'的坐标为(n﹣6,4).
把E'(n﹣6,4)代入,得n2﹣16n+36=0.
解得.,,
综上所述F1(﹣6,0),F2(2,0),F3(8﹣2,0),F4(8+2,0).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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