如图,在中,为上一点,以为圆心,长为半径作圆,与相切于点,过点作交的延长线于点,且. (1)求*:为的切线;...
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如图,在中,为上一点,以为圆心,长为半径作圆,与相切于点,过点作交的延长线于点,且.
(1)求*:为的切线;
(2)若, ,求的长.
【回答】
(1)*见解析;(2)
【解析】
(1)作OE⊥AB于点E,*△OBC≌△OBE,根据全等三角形的对应边相等可得OE=OC, OE是⊙O的半径 ,OE⊥AB ,即可判定AB为⊙O的切线;
(2)根据题意先求出AO、BO的长,再*△AOD∽△BOC,根据相似三角形对应边成比例即可求出AD的长.
【详解】(1)作OE⊥AB于点E,
∵切BC于点C,
∴OC⊥BC,∠ACB=90°,
∵ AD⊥BD,∴∠D=90°,
∴∠ABD+∠BAD =90°,∠CBD+∠BOC=90°,
∵∠BOC=∠AOD,∠AOD=∠BAD,
∴∠BOC=∠BAD,
∴∠ABD=∠CBD
在△OBC和△OBE中,
∴△OBC≌△OBE,
∴OE=OC,∴OE是⊙O的半径 ,
∵OE⊥AB ,∴AB为⊙O的切线;
(2) ∵tan∠ABC=,BC=6,
∴AC=8,∴AB= ,
∵BE=BC=6,∴AE=4,
∵∠AOE=∠ABC,∴tan∠AOE= ,∴EO=3,
∴AO=5,OC=3,∴BO=,
在△AOD和△BOC中,
∴△AOD∽△BOC,∴ ,
即 ,∴AD= .
【点睛】本题考查了切线的判定与*质,相似三角形的判定与*质等,熟练掌握相关的判定与*质定理是解题的关键.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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