已知函數f(x)=(e是自然對數的底數),h(x)=1﹣x﹣xlnx.(1)求曲線y=f(x)在點A(1,f(...
問題詳情:
已知函數f(x)=(e是自然對數的底數),h(x)=1﹣x﹣xlnx.
(1)求曲線y=f(x)在點A(1,f(1))處的切線方程;
(2)求h(x)的單調區間;
(3)設g(x)=xf′(x),其中f′(x)為f(x)的導函數,*:對任意x>0,g(x)<1+e﹣2.
【回答】
【考點】6H:利用導數研究曲線上某點切線方程;6E:利用導數求閉區間上函數的最值.
【分析】(1)求出f(x)的導數,可得切線的斜率和切點,即可得到所求切線的方程;
(2)求導數,利用導數的正負,求h(x)的單調區間;
(3)g(x)=(1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞).由h(x)=1﹣x﹣xlnx,確定當x∈(0,+∞)時,h(x)≤h(e﹣2)=1+e﹣2.當x∈(0,+∞)時,0<<1,即可*結論.
【解答】解:(1)f(x)=的導數為=,
可得曲線y=f(x)在點A(1,f(1))處的切線斜率為0,
切點為(1,),可得曲線y=f(x)在點A(1,f(1))處的切線方程為y=;
(2)h(x)=1﹣x﹣xlnx求導數得h′(x)=﹣1﹣(1+lnx),x∈(0,+∞),
令h′(x)=﹣2﹣lnx=0,x∈(0,+∞),可得x=e﹣2,
當x∈(0,e﹣2)時,h′(x)>0;當x∈(e﹣2,+∞)時,h′(x)<0.
因此h(x)的單調遞增區間為(0,e﹣2),單調遞減區間為(e﹣2,+∞);
(2)*:因為g(x)=xf′(x).
所以g(x)=(1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞).
由h(x)=1﹣x﹣xlnx,
求導得h′(x)=﹣lnx﹣2=﹣(lnx﹣lne﹣2),
所以當x∈(0,e﹣2)時,h′(x)>0,函數h(x)單調遞增;
當x∈(e﹣2,+∞)時,h′(x)<0,函數h(x)單調遞減.
所以當x∈(0,+∞)時,h(x)≤h(e﹣2)=1+e﹣2.
又當x∈(0,+∞)時,0<<1,
所以當x∈(0,+∞)時, h(x)<1+e﹣2,即g(x)<1+e﹣2.
綜上所述,對任意x>0,g(x)<1+e﹣2.
知識點:導數及其應用
題型:解答題
-
_____________,_____________。萬里悲秋常作客,百年多病獨登台。杜甫《登高》
問題詳情:_____________,_____________。萬里悲秋常作客,百年多病獨登台。杜甫《登高》【回答】無邊落木蕭蕭下,不盡長*滾滾來。知識點:其他題型:填空題...
-
光明在低頭的一瞬 ...
問題詳情: 光明在低頭的一瞬 遲子建 ...
-
下列各組詞語中,沒有錯別字的一組是A.閒情逸致 聲名鵲起 意氣相投 金碧輝煌B.情隨事遷 隱約...
問題詳情:下列各組詞語中,沒有錯別字的一組是A.閒情逸致 聲名鵲起 意氣相投 金碧輝煌B.情隨事遷 隱約其辭 誇誇奇談 前赴後繼C.夢寐以求 百折不撓 聞過飾非 慘淡經營D.言簡意賅 言近指遠 伸張正義 良辰...
-
對於一定量的理想氣體,下列説法正確的是______。(選對一個給3分,選對兩個給4分,選對3個給6分。每選錯一...
問題詳情:對於一定量的理想氣體,下列説法正確的是______。(選對一個給3分,選對兩個給4分,選對3個給6分。每選錯一個扣3分,最低得分為0分) A.若氣體的壓強和體積都不變,其內能也一定不變 B.若氣體的內能不變,其狀態也一定不變 C.若氣體的...
相關文章
- 已知函數f(x)=ln(1+x)﹣x+x2(k≥0).(Ⅰ)當k=2時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))...
- 已知函數f(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx,g(x)=xe1﹣x(a∈R,e為自然對數的底數),若對任意...
- 已知函數f(x)=ex﹣ax﹣1(e為自然對數的底數).(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間;(Ⅱ)當a>0時,若f...
- 已知函數f(x)=lnx﹣,a∈R.(1)若x=2是函數f(x)的極值點,求曲線y=f(x)在點(1,f(1)...
- 已知函數f(x)=2lnx﹣3x2﹣11x.(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)若...
- 已知函數f(x)=ex-x-1(e是自然對數的底數).(1)求*:ex≥x+1;(2)若不等式f(x)>ax-...
- 已知函數f(x)=lnx﹣ex+a.(Ⅰ)若曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸正半軸有公共點,求a...
- 已知函數f(x)=(x﹣1)2+ln(2x﹣1).(1)當a=﹣2時,求函數f(x)的極值點;(2)記g(x)...
- 已知二次函數f(x)滿足f(0)=1,f(x+1)﹣f(x)=2x.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)求f(2x...
- 已知函數f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導數.(1)*:f′(x)在區間(0,π...