已知圓C1：x2+y2=r2（r＞0）與直線l0：y=相切，點A為圓C1上一動點，AN⊥x軸於點N，且動點M滿...

問題詳情：

已知圓C1：x2+y2=r2（r＞0）與直線l0：y=相切，點A為圓C1上一動點，AN⊥x軸於點N，且動點M滿足，設動點M的軌跡為曲線C．

（1）求動點M的軌跡曲線C的方程；

（2）若直線l與曲線C相交於不同的兩點P、Q且滿足以PQ為直徑的圓過座標原點O，求線段PQ長度的取值範圍．

【回答】

【考點】KP：圓錐曲線的範圍問題；J3：軌跡方程；KL：直線與橢圓的位置關係．

【分析】（1）設動點M（x，y），A（x0，y0），由於AN⊥x軸於點N．推出N（x0，0）．通過直線與圓相切，求出圓的方程，然後轉化求解曲線C的方程．

（2）①假設直線l的斜率存在，設其方程為y=kx+m，設P（x1，y1），Q（x2，y2），聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理，通過，以及弦長公式，利用基本不等式求出範圍．②若直線l的斜率不存在，設OP所在直線方程為y=x，類似①求解即可．

【解答】解：（I）設動點M（x，y），A（x0，y0），由於AN⊥x軸於點N．∴N（x0，0）．

又圓與直線即相切，∴．

∴圓．

由題意，，得，

∴．

∴，

即∴

將代入x2+y2=9，得曲線C的方程為．

（II）（1）假設直線l的斜率存在，設其方程為y=kx+m，設P（x1，y1），Q（x2，y2），

聯立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．

由求根公式得．（*）

∵以PQ為直徑的圓過座標原點O，∴．即．

∴x1x2+y1y2=0．即∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．

化簡可得，．

將（*）代入可得，即3m2﹣8k2﹣8=0．

即，又．

將代入，可得

=．

∴若且唯若，即時等號成立．又由，∴，

∴．

（2）若直線l的斜率不存在，因以PQ為直徑的圓過座標原點O，故可設OP所在直線方程為y=x，

聯立解得，同理求得，

故．綜上，得．

知識點：圓與方程

題型：解答題