.已知直線y=2x+m與拋物線y=ax2+ax+b有一個公共點M(1,0),且a<b.(Ⅰ)求拋物線頂點Q的坐...
問題詳情:
.已知直線y=2x+m與拋物線y=ax2+ax+b有一個公共點M(1,0),且a<b.
(Ⅰ)求拋物線頂點Q的座標(用含a的代數式表示);
(Ⅱ)説明直線與拋物線有兩個交點;
(Ⅲ)直線與拋物線的另一個交點記為N,若-1≤a≤-,求線段MN長度的取值範圍;
【回答】
解:(Ⅰ)∵拋物線過點M(1,0),
∴a+a+b=0,即b=-2a,
∵y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a(x+)2-,
∴拋物線頂點Q的座標為(-,-);
(Ⅱ)∵直線y=2x+m經過點M(1,0),
∴0=2×1+m,解得m=-2,
把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,得ax2+(a-2)x-2a+2=0①,
∴Δ=(a-2)2-4a(-2a+2)=9a2-12a+4,
又∵a<b,b=-2a,
∴a<0,b>0,
∴Δ=9a2-12a+4>0,
∴方程①有兩個不相等的實數根,
∴直線與拋物線有兩個交點;
(Ⅲ)把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a,得ax2+(a-2)x-2a+2=0,
即x2+(1-)x-2+=0,
∴[x+(-)]2=(-)2,解得x1=1,x2=-2,
將x=-2代入y=2x-2得y=-6,
∴點N(-2,-6),
根據兩點間的距離公式得,
MN 2=[(-2)-1]2+(-6)2=-+45=20(-)2,
∵-1≤a≤-,則-2≤≤-1,
∴-<0,
∴MN=2(-)=3-,
又∵-1≤a≤-,
∴5≤MN≤7.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題
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