已知數列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差數列{bn}中bn>0(n∈...
問題詳情:
已知數列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差數列{bn}中bn>0(n∈N*),且b1+b2+b3=15,又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比數列.
(Ⅰ)求數列{an}、{bn}的通項公式;
(Ⅱ)求數列{an•bn}的前n項和Tn.
【回答】
【考點】8E:數列的求和;81:數列的概念及簡單表示法.
【分析】本題是數列中的一道綜合題,(1)的求解要利用恆等式an+1=2Sn+1構造出an=2Sn﹣1+1兩者作差得出an+1=3an,此處是的難點,數列的{bn}的求解根據題意列出方程求d,即可,
(II)中數列求和是一個典型的錯位相減法求和技巧的運用.
【解答】解:(Ⅰ)∵a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),
∴an=2Sn﹣1+1(n∈N*,n>1),
∴an+1﹣an=2(Sn﹣Sn﹣1),
∴an+1﹣an=2an,
∴an+1=3an(n∈N*,n>1)
而a2=2a1+1=3=3a1,
∴an+1=3an(n∈N*)
∴數列{an}是以1為首項,3為公比的等比數列,
∴an=3n﹣1(n∈N*)
∴a1=1,a2=3,a3=9,
在等差數列{bn}中,
∵b1+b2+b3=15,
∴b2=5.
又因a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比數列,設等差數列{bn}的公差為d,
∴(1+5﹣d)(9+5+d)=64
解得d=﹣10,或d=2,
∵bn>0(n∈N*),
∴捨去d=﹣10,取d=2,
∴b1=3,
∴bn=2n+1(n∈N*),
(Ⅱ)由(Ⅰ)知Tn=3×1+5×3+7×32++(2n﹣1)3n﹣2+(2n+1)3n﹣1①
3Tn=3×3+5×32+7×33++(2n﹣1)3n﹣1+(2n+1)3n②
①﹣②得﹣2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33++2×3n﹣1﹣(2n+1)3n
=3+2(3+32+33++3n﹣1)﹣(2n+1)3n
=,
∴Tn=n•3n
知識點:數列
題型:解答題
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