如圖,拋物線y=x2+bx+c經過點A(﹣1,0),B(0,﹣2),並與x軸交於點C,點M是拋物線對稱軸l上任...
問題詳情:
如圖,拋物線y=x2+bx+c經過點A(﹣1,0),B(0,﹣2),並與x軸交於點C,點M是拋物線對稱軸l上任意一點(點M,B,C三點不在同一直線上).
(1)求該拋物線所表示的二次函數的表達式;
(2)在拋物線上找出兩點P1,P2,使得△MP1P2與△MCB全等,並求出點P1,P2的座標;
(3)在對稱軸上是否存在點Q,使得∠BQC為直角,若存在,作出點Q(用尺規作圖,保留作圖痕跡),並求出點Q的座標.
【回答】
解:(1)把A(﹣1,0),B(0,﹣2)代入拋物線y=x2+bx+c中得:
,
解得:,
∴拋物線所表示的二次函數的表達式為:y=x2﹣x﹣2;
(2)如圖1,P1與A重合,P2與B關於l對稱,
∴MB=P2M,P1M=CM,P1P2=BC,
∴△P1MP2≌△CMB,
∵y=x2﹣x﹣2=(x﹣)2﹣,
此時P1(﹣1,0),
∵B(0,﹣2),對稱軸:直線x=,
∴P2(1,﹣2);
如圖2,MP2∥BC,且MP2=BC,
此時,P1與C重合,
∵MP2=BC,MC=MC,∠P2MC=∠BP1M,
∴△BMC≌△P2P1M,
∴P1(2,0),
由點B向右平移個單位到M,可知:點C向右平移個單位到P2,
當x=時,y=(﹣)2﹣=,
∴P2(,);
如圖3,構建▱MP1P2C,可得△P1MP2≌△CBM,此時P2與B重合,
由點C向左平移2個單位到B,可知:點M向左平移2個單位到P1,
∴點P1的橫座標為﹣,
當x=﹣時,y=(﹣﹣)2﹣=4﹣=,
∴P1(﹣,),P2(0,﹣2);
(3)如圖3,存在,
作法:以BC為直徑作圓交對稱軸l於兩點Q1、Q2,
則∠BQ1C=∠BQ2C=90°;
過Q1作DE⊥y軸於D,過C作CE⊥DE於E,
設Q1(,y)(y>0),
易得△BDQ1∽△Q1EC,
∴,
∴=,
y2+2y﹣=0,
解得:y1=(舍),y2=,
∴Q1(,),
同理可得:Q2(,);
綜上所述,點Q的座標是:(,)或(,).
【點評】本題考查了待定係數法求函數解析式、二次函數圖象上點的座標特徵、二次函數的*質、圓周角定理以及三角形全等的*質和判定,解題的關鍵是:(1)利用待定係數法求出函數解析式;(2)利用二次函數的對稱*解決三角形全等問題;(3)分類討論.本題屬於中檔題,難度不大,解決該題型題目時,利用二次函數的對稱*,再結合相似三角形、方程解決問題是關鍵.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題
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