已知拋物線y=x2+bx+c經過點A(﹣2,0),B(0、﹣4)與x軸交於另一點C,連接BC.(1)求拋物線的...
問題詳情:
已知拋物線y=x2+bx+c經過點A(﹣2,0),B(0、﹣4)與x軸交於另一點C,連接BC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖,P是第一象限內拋物線上一點,且S△PBO=S△PBC,求*:AP∥BC;
(3)在拋物線上是否存在點D,直線BD交x軸於點E,使△ABE與以A,B,C,E中的三點為頂點的三角形相似(不重合)?若存在,請求出點D的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
【解答】解:(1)把點A(﹣2,0),B(0、﹣4)代入拋物線y=x2+bx+c中得:
,解得:,
∴拋物線的解析式為:y=x2﹣x﹣4;
(2)當y=0時,x2﹣x﹣4=0,
解得:x=﹣2或4,
∴C(4,0),
如圖1,過O作OE⊥BP於E,過C作CF⊥BP於F,設PB交x軸於G,
∵S△PBO=S△PBC,
∴,
∴OE=CF,
易得△OEG≌△CFG,
∴OG=CG=2,
設P(x,x2﹣x﹣4),過P作PM⊥y軸於M,
tan∠PBM===,
∴BM=2PM,
∴4+x2﹣x﹣4=2x,
x2﹣6x=0,
x1=0(舍),x2=6,
∴P(6,8),
易得AP的解析式為:y=x+2,
BC的解析式為:y=x﹣4,
∴AP∥BC;
(3)以A,B,C,E中的三點為頂點的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE,四種,其中△ABE重合,不符合條件,△ACE不能構成三角形,
∴當△ABE與以A,B,C,E中的三點為頂點的三角形相似,存在兩個三角形:△ABC和△BCE,
①當△ABE與以A,B,C中的三點為頂點的三角形相似,如圖2,
∵∠BAE=∠BAC,∠ABE≠∠ABC,
∴∠ABE=∠ACB=45°,
∴△ABE∽△ACB,
∴,
∴,
∴AE=,
∴E(,0),
∵B(0,﹣4),
易得BE:y=,
則x2﹣x﹣4=x﹣4,
x1=0(舍),x2=,
∴D(,);
②當△ABE與以B,C、E中的三點為頂點的三角形相似,如圖3,
∵∠BEA=∠BEC,
∴當∠ABE=∠BCE時,△ABE∽△BCE,
∴==,
設BE=2m,CE=4m,
Rt△BOE中,由勾股定理得:BE2=OE2+OB2,
∴,
3m2﹣8m+8=0,
(m﹣2)(3m﹣2)=0,
m1=2,m2=,
∴OE=4m﹣4=12或,
∵OE=<2,∠AEB是鈍角,此時△ABE與以B,C、E中的三點為頂點的三角形不相似,如圖4,
∴E(﹣12,0);
同理得BE的解析式為:y=﹣x﹣4,
﹣x﹣4=x2﹣x﹣4,
x=或0(舍)
∴D(,﹣);
綜上,點D的座標為(,)或(,﹣).
知識點:各地中考
題型:綜合題
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