如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC於點D，E，且點D為BC的中點．(1)求...

問題詳情：

如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC於點D，E，且點D為BC的中點．

(1)求*：△ABC為等邊三角形；

(2)求DE的長；

(3)在線段AB的延長線上是否存在一點P，使△PBD≌△AED，若存在，請求出PB的長；若不存在，請説明理由．

【回答】

解：(1)*：連接AD.

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°.

∵點D是BC的中點，

∴AD是線段BC的垂直平分線．

∴AB＝AC.

∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC.

∴△ABC為等邊三角形．

(2)連接BE.

∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°.

∴BE⊥AC.

∵△ABC是等邊三角形，

∴AE＝EC，即E為AC的中點．

∵D是BC的中點，故DE為△ABC的中位線，

∴DE＝AB＝×2＝1.

(3)存在點P使△PBD≌△AED，

由(1)(2)知，BD＝ED，

∵∠BAC＝60°，DE∥AB，∴∠AED＝120°.

∵∠ABC＝60°，∴∠PBD＝120°.

∴∠PBD＝∠AED.

要使△PBD≌△AED，只需PB＝AE＝1.

知識點：圓的有關*質

題型：解答題