已知定義域為R的函數f(x)=是奇函數.(1)求a,b的值;(2)判斷函數f(x)的單調*,並用定義*;(3...
問題詳情:
已知定義域為R的函數f(x)=是奇函數.
(1)求a,b的值;
(2)判斷函數f(x)的單調*,並用定義*;
(3)當x∈[,3]時,f(kx2)+f(2x-1)>0恆成立,求實數k的取值範圍.
【回答】
解:(1)因為f(x)在定義域R上是奇函數.
所以f(0)=0,
即=0,
所以b=1.
又由f(-1)=-f(1),即=-,
所以a=2,
檢驗知,當a=2,b=1時,原函數是奇函數.
(2)f(x)在R上單調遞減.*:
由(1)知f(x)==-+,
任取x1,x2∈R,設x1<x2,
則f(x2)-f(x1)=-=,
因為函數y=2x在R上是增函數,
且x1<x2,
所以-<0,
又(+1)(+1)>0,
所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),
所以函數f(x)在R上單調遞減.
(3)因為f(x)是奇函數,從而不等式f(kx2)+f(2x-1)>0等價於f(kx2)>-f(2x-1)=f(1-2x),
因為f(x)在R上是減函數,由上式推得kx2<1-2x,
即對一切x∈[,3]有k<恆成立,
設g(x)==()2-2·,
令t=,t∈[,2],
則有h(t)=t2-2t,t∈[,2],
所以g(x)min=h(t)min=h(1)=-1,
所以k<-1,即k的取值範圍為(-∞,-1).
知識點:基本初等函數I
題型:解答題
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