設f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，aR.（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的單調區間；（Ⅱ）...

問題詳情：

設f(x)=xln x–ax2+(2a–1)x，aR.

（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的單調區間；

（Ⅱ）已知f(x)在x=1處取得極大值.求實數a的取值範圍.

【回答】

（Ⅰ）當時，函數單調遞增區間為，當時，函數單調遞增區間為，單調遞減區間為； （Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求出，然後討論當時，當時的兩種情況即得.

（Ⅱ）分以下情況討論：①當時，②當時，③當時，④當時，綜合即得.

試題解析：（Ⅰ）由

可得，

則，

當時，

時，，函數單調遞增；

當時，

時，，函數單調遞增，

時，，函數單調遞減.

所以當時，單調遞增區間為；

當時，函數單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.

①當時，，單調遞減.

所以當時，，單調遞減.

當時，，單調遞增.

所以在x=1處取得極小值，不合題意.

②當時，，由(Ⅰ)知在內單調遞增，

可得當當時，，時，，

所以在(0,1)內單調遞減，在內單調遞增，

所以在x=1處取得極小值，不合題意.

③當時，即時，在(0,1)內單調遞增，在 內單調遞減，

所以當時，， 單調遞減，不合題意.

④當時，即 ，當時，，單調遞增,

當時，，單調遞減，

所以f(x)在x=1處取得極大值，合題意.

綜上可知，實數a的取值範圍為.

【考點】應用導數研究函數的單調*、極值,分類討論思想

【名師點睛】本題主要考查導數的計算、應用導數研究函數的單調*與極值、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準確求導是基礎，恰當分類討論是關鍵，易錯點是分類討論不全面、不徹底、不恰當.本題能較好地考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力及分類討論思想等.

知識點：導數及其應用

題型：解答題