設函數f(x)=xex+a(1-ex)+1.(1)求函數f(x)的單調區間;(2)若函數f(x)在(0,+∞)...
問題詳情:
設函數f(x)=xex+a(1-ex)+1.
(1)求函數f(x)的單調區間;
(2)若函數f(x)在(0,+∞)上存在零點,*:a>2.
(二)選考題:請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計分.
【回答】
(1)解:函數f(x)的定義域為(-∞,+∞),
因為f(x)=xex+a(1-ex)+1,所以f′(x)=(x+1-a)ex.
所以當x>a-1時,f′(x)>0,f(x)在(a-1,+∞)上是增函數;
當x<a-1時,f′(x)<0,f(x)在(-∞,a-1)上是減函數.
所以f(x)在(a-1,+∞)上是增函數,在(-∞,a-1)上是減函數.
(2)*:由題意可得,當x>0時,f(x)=0有解,
即有解.
令,則.
設函數h(x)=ex-x-2,h′(x)=ex-1>0,所以h(x)在(0,+∞)上單調遞增.
又h(1)=e-3<0,h(2)=e2-4>0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零點.
故g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零點.設此零點為k,則k∈(1,2).
當x∈(0,k)時,g′(x)<0;當x∈(k,+∞)時,g′(x)>0.
所以g(x)在(0,+∞)的最小值為g(k).
又由g′(k)=0,可得ek=k+2,所以,
因為a=g(x)在(0,+∞)上有解,所以a≥g(k)>2,即a>2.
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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