如圖4,質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動,星球A和B兩者中心之間的距離為L....
問題詳情:
如圖4,質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動,星球A和B兩者中心之間的距離為L.已知A、B的中心和O三點始終共線,A和B分別在O的兩側.引力常數為G.
圖4
(1)求兩星球做圓周運動的週期;
(2)在地月系統中,若忽略其他星球的影響,可以將月球和地球看成上述星球A和B,月球繞其軌道中心運行的週期記為T1.但在近似處理問題時,常常認為月球是繞地心做圓周運動的,這樣算得的運行週期記為T2.已知地球和月球的質量分別為5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2與T1兩者平方之比.(結果保留三位小數)
【回答】
(1)T=2π (2)1.012
【解析】(1)設兩個星球A和B做勻速圓周運動的軌道半徑分別為r和R,相互作用的引力大小為F,運行週期為T.根據萬有引力定律有F=G,①
由勻速圓周運動的規律得F=m2r,②
F=M2R,③
由題意知L=R+r,④
聯立①②③④得T=2π .⑤
(2)在地月系統中,由於地月系統旋轉所圍繞的中心O不在地心,月球做圓周運動的週期可由⑤式推出
T1=2π .⑥
式中,m′和M′分別是月球與地球的質量,L′是地心與月心之間的距離,若認為月球在地球的引力作用下繞地心做勻速圓周運動,則G=m′2L′.⑦
式中,T2為月球繞地心運動的週期,由⑦式得
T2=2π .⑧
由⑥⑧式得=1+,⑨
代入數據得=1.012.⑩
知識點:未分類
題型:計算題
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