如圖,O是△ABC的外心,I是△ABC的內心,連AI並延長交BC和⊙O於D、E兩點.(1)求*:EB=EI;(...
問題詳情:
如圖,O是△ABC的外心,I是△ABC的內心,連AI並延長交BC和⊙O於D、E兩點.
(1)求*:EB=EI;
(2)若AB=4,AC=3,BE=2,求AI的長.
【回答】
(1)見解析;(2)AI=2.
【解析】
分析:(1)連接IB,只需*∠IBE=∠BIE.根據三角形的外角的*質、三角形的內心是三角形的角平分線的交點,以及圓周角定理的推論即可*.
(2)由(1)可得△BDE∽△ABE,即:DE=,再由同弦所對的圓周角相等可得:△ADC∽△ABE,即:AB·AC=AD·AE,列出等式求解即可.
詳解:(1)連BI.如圖,
∵I是△ABC的內心,
∴∠BAE=∠CAE,∠ABI=∠CBI,
∵∠CBE=∠CAE,
∴∠BAE=∠CBE,
∴∠BIE=∠ABI+∠BAE,∠IBE=∠CBI+∠CBE,
∴∠IBE=∠BIE,
∴EB=EI.
(2)設AI=x,由(1)可知:∠BAE=∠CBE,且∠E=∠E.
∴△BDE∽△ABE,BE2=ED·EA,即: DE=.
又∵∠E=∠C(同弦的圓周角相等),∠BAE=∠CAE.
∴△ADC∽△ABE,AB·AC=AD·AE,
4×3=(x+2)(),
解得x=2,即AI=2.
點睛:本題考查了三角形的外角的*質、三角形的內心、圓周角定理、相似三角形.
知識點:與三角形有關的角
題型:解答題
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