如圖，AB爲⊙O的直徑，AD爲弦，∠DBC=∠A．（1）求*：BC是⊙O的切線；（2）連接OC，如果OC恰好經...

問題詳情：

如圖，AB爲⊙O的直徑，AD爲弦，∠DBC=∠A．

（1）求*：BC是⊙O的切線；

（2）連接OC，如果OC恰好經過弦BD的中點E，且tanC=，AD=3，求直徑AB的長．

【回答】

【考點】切線的判定．

【專題】*題．

【分析】（1）由AB爲⊙O的直徑，可得∠D=90°，繼而可得∠ABD+∠A=90°，又由∠DBC=∠A，即可得∠DBC+∠ABD=90°，則可*得BC是⊙O的切線；

（2）根據點O是AB的中點，點E時BD的中點可知OE是△ABD的中位線，故AD∥OE，則∠A=∠BOC，再由（1）∠D=∠OBC=90°，故∠C=∠ABD，由tanC=可知tan∠ABD==，由此可得出結論．

【解答】（1）*：∵AB爲⊙O的直徑，

∴∠D=90°，

∴∠ABD+∠A=90°，

∵∠DBC=∠A，

∴∠DBC+∠ABD=90°，即AB⊥BC，

∴BC是⊙O的切線；

（2）∵點O是AB的中點，點E時BD的中點，

∴OE是△ABD的中位線，

∴AD∥OE，

∴∠A=∠BOC．、

∵由（1）∠D=∠OBC=90°，

∴∠C=∠ABD，

∵tanC=，

∴tan∠ABD===，解得BD=6，

∴AB===3．

【點評】本題考查的是切線的判定，熟知經過半徑的外端且垂直於這條半徑的直線是圓的切線是解答此題的關鍵．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題