设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a.(1)求f(x)的极值;(2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f...
问题详情:
设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a.
(1)求f(x)的极值;
(2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点?
【回答】
(1)f(x)的极大值是f(-)=+a,极小值是f(1)=a-1.(2).
【解析】试题分析:
(1)首先求得导函数,然后列表考查函数的单调*,据此可得f(x)的极大值是f(-)=+a,极小值是f(1)=a-1.
(2)由题意结合(1)中的极值的结论可得实数a的取值范围是.
试题解析:
(1)f′(x)=3x2-2x-1.
令f′(x)=0,则x=-或x=1.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x | (-∞,-) | - | (-,1) | 1 | (1,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以f(x)的极大值是f(-)=+a,
极小值是f(1)=a-1.
(2)函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1,
由此可知,x取足够大的正数时,
有f(x)>0,x取足够小的负数时,有f(x)<0,
曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点.
由(1)知f(x)极大值=f(-)=+a,
f(x)极小值=f(1)=a-1.
∵曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点,
∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0,
即+a<0或a-1>0,
∴a<-或a>1,
∴当a∈(-∞,-)∪(1,+∞)时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.
点睛:(1)可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0,且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同.
(2)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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