已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)为f(x)的导数.(1)*:f′(x)在区间(0,π...
问题详情:
已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)为f(x)的导数.
(1)*:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;
(2)若x∈时,f(x)≥ax,求a的取值范围.
【回答】
(1)见解析;
(2).
【分析】
(1)求导得到导函数后,设为进行再次求导,可判断出当时,,当时,,从而得到单调*,由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置,*得结论;(2)构造函数,通过二次求导可判断出,;分别在,,和的情况下根据导函数的符号判断单调*,从而确定恒成立时的取值范围.
【详解】
(1)
令,则
当时,令,解得:
当时,;当时,
在上单调递增;在上单调递减
又,,
即当时,,此时无零点,即无零点
,使得
又在上单调递减 为,即在上的唯一零点
综上所述:在区间存在唯一零点
(2)若时,,即恒成立
令
则,
由(1)可知,在上单调递增;在上单调递减
且,,
,
①当时,,即在上恒成立
在上单调递增
,即,此时恒成立
②当时,,,
,使得
在上单调递增,在上单调递减
又,
在上恒成立,即恒成立
③当时,,
,使得
在上单调递减,在上单调递增
时,,可知不恒成立
④当时,
在上单调递减
可知不恒成立
综上所述:
【点睛】
本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题,通常采用构造函数的方式,将问题转变成函数最值与零之间的比较,进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调*,从而得到最值.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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