已知函数f(x)=a(|sinx|+|cosx|)﹣sin2x﹣1,a∈R.(1)写出函数f(x)的最小正周期...
问题详情:
已知函数 f(x)=a(|sinx|+|cosx|)﹣sin2x﹣1,a∈R.
(1)写出函数 f(x)的最小正周期(不必写出过程);
(2)求函数 f(x)的最大值;
(3)当a=1时,若函数 f(x)在区间(0,kπ)(k∈N*)上恰有2015个零点,求k的值.
【回答】
(1)最小正周期为π.(2)见解析(3)k=1008.
【分析】
(1)由题意结合周期函数的定义直接求解即可;
(2)令,t∈[1,],则当时,,
当时,,易知,分类比较、的大小即可得解;
(3)转化条件得当且仅当sin2x=0时,f(x)=0,则x∈(0,π]时,f(x)有且仅有两个零点,结合函数的周期即可得解.
【详解】
(1)函数 f(x)的最小正周期为π.
(2)∵f(x)=a(|sinx|+|cosx|)﹣sin2x﹣1
=asin2x﹣1=a(sin2x+1),
令t,t∈[1,],
当时,,
当时,,
∵即.
∴,
∵,,
∴当时,最大值为;当,最大值为.
(3)当a=1时,f(x),
若f(x)=0,则即,
∴当且仅当sin2x=0时,f(x)=0,
∴x∈(0,π]时,f(x)有且仅有两个零点分别为,π,
∴2015=2×1007+1,
∴k=1008.
【点睛】
本题考查了三角函数的综合问题,考查了分类讨论思想和转化化归思想,属于难题.
知识点:三角函数
题型:解答题
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