如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A...

问题详情：

如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；

（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，

由对称*得：D（3，0），

设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），

把A（0，3）代入得：3=3a，

a=1，

∴抛物线的解析式；y=x2﹣4x+3；

（2）如图2，设P（m，m2﹣4m+3），

∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，

∴∠AOE=45°，

∴△AOE是等腰直角三角形，

∴AE=OA=3，

∴E（3，3），

易得OE的解析式为：y=x，

过P作PG∥y轴，交OE于点G，

∴G（m，m），

∴PG=m﹣（m2﹣4m+3）=﹣m2+5m﹣3，

∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，

=×3×3+PG•AE，

=+×3×（﹣m2+5m﹣3），

=﹣+，

=﹣（m﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴当m=时，S有最大值是；

（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，

∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，

易得△OMP≌△PNF，

∴OM=PN，

∵P（m，m2﹣4m+3），

则﹣m2+4m﹣3=2﹣m，

解得：m=或，

∴P的坐标为（，）或（，）；

如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，

同理得△ONP≌△PMF，

∴PN=FM，

则﹣m2+4m﹣3=m﹣2，

解得：x=或；

P的坐标为（，）或（，）；

综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）． 

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题