已知椭圆的左、右焦点分别为,且椭圆的离心率为,过作轴的垂线与椭圆交于两点,且,动点在椭圆上.(1)求椭圆的标准...
问题详情:
已知椭圆的左、右焦点分别为,且椭圆的离心率为,过作轴的垂线与椭圆交于两点,且,动点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)记椭圆的左、右顶点分别为,且直线的斜率分别与直线(
为坐标原点)的斜率相同,动点不与重合,求的面积.
【回答】
【解析】(1)联立方程得解得,故,即,
又,,所以,(3分)
故椭圆C的标准方程为.(4分)
(2)由(1)知,,设,则,
又,即,所以,所以.
当直线的斜率不存在时,直线的斜率分别为或,
不妨设直线的方程是,由得,.
取,则,所以的面积为.(6分)
当直线的斜率存在时,设方程为.
由得.
因为在椭圆上,所以,解得.
设,,则,.(8分)
所以
.
设点到直线的距离为,则.
所以的面积为,①.(10分)
因为,
所以
由,得,②.
由①②,得.
综上所述,的面积为.(12分)
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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