已知函数在处取得极值.(1)求函数的单调区间;(2)若函数在上恰有两个不同的零点,求实数的取值范围.
问题详情:
已知函数在处取得极值.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数在上恰有两个不同的零点,求实数的取值范围.
【回答】
(1)f'(x)=ex+xex+2ax+2,
∵f(x)在处取得极值, ∴f'(-1)=0,解得a=1.经检验a=1适合,
∴f(x)=xex+x2+2x+1,f'(x)=(x+1)(ex+2),
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,∴f(x)在(-∞,-1)递减;
当x∈(-1+∞)时,f'(x)>0,∴f(x)在(-1,+∞)递增.
(2)函数y=f(x)-m-1在[-2,2]上恰有两个不同的零点,
等价于xex+x2+2x-m=0在[-2,2]上恰有两个不同的实根,
等价于xex+x2+2x=m在[-2,2]上恰有两个不同的实根.
令g(x)=xex+x2+2x,∴g'(x)=(x+1)(ex+2),
由(1)知g(x)在(-∞,-1)递减; 在(-1,+∞)递增.
g(x)在[-2,2]上的极小值也是最小值; . 又,g(2)=8+2e2>g(-2), ∴,即.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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