如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边...
问题详情:
如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点P沿AB边从A向B以2 cm/s的速度移动;点Q沿DA边从D向A以1 cm/s的速度移动.如果P,Q同时出发,用t(s)表示移动时间(0≤t≤6),那么:
(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?
(2)求四边形QAPC的面积,你有什么发现?
(3)当t为何值时,以点A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?
【回答】
【解析】(1)对于任意时刻的t有:AP=2t,DQ=t,
AQ=6-t,
当AQ=AP时,△QAP为等腰直角三角形,
即6-t=2t,∴t=2,
∴当t=2时,△QAP为等腰直角三角形.
(2)在△AQC中,AQ=6-t,AQ边上的高CD=12,
∴S△AQC=(6-t)×12=36-6t,
在△APC中,AP=2t,AP边上的高CB=6,
∴S△APC=×2t×6=6t.
∴四边形QAPC的面积
S四边形QAPC=S△AQC+S△APC
=36-6t+6t=36(cm2),
所以,经计算发现:点P,Q在运动的过程中,四边形QAPC的面积保持不变.
(3)根据题意,应分两种情况来研究:
①当时,△QAP∽△ABC,
则有,求得t=1.2(s).
②当时,△PAQ∽△ABC,
则有,求得t=3(s)
∴当t=1.2或3时,以点A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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