如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动,点Q...
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如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动,如果P、Q同时出发,用t秒表示移动的时间(0≤t≤6).
(1)当t为何值时,△QAP为等腰三角形?
(2)设△QCP的面积为S,求S与t之间的函数关系式;
(3)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△PBC相似.
【回答】
解:(1)当△QAP为等腰三角形时,由于∠A为直角,只能是AQ=AP,
又∵AQ=6﹣t,AP=2t,
∴2t=6﹣t,
∴t=2.即当t=2时,△QAP为等腰三角形;
(2)依题意,得S=S矩形ABCD﹣S△QDC﹣S△QAP﹣S△PBC
整理,得S=t2﹣6t+36.
*,得S=(t﹣3)2+27.
∴S与t之间的函数关系式为S=t2﹣6t+36;
(3)AB=12,BC=6,
vP=2,vQ=1,
AP=vPt=2t
DQ=vQt=t
AQ=DA﹣DQ=6﹣t
BP=AB﹣AP=12﹣2t=2(6﹣t)
当△QAP∽△PBC时:
QA:PB=AP:BC
(6﹣t):(12﹣2t)=2t:6
t=1.5
当△PAQ∽△PBC时:
PA:PB=AD:BC
2t:(12﹣2t)=(6﹣t):6
(6﹣t)2=6t
t2﹣18t+36=0
(t﹣9)2=45
t=9±3
t=9+>6,舍去
∴t=9﹣3
综上:t=1.5,或t=9﹣3.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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