如图,抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一个交点为B.(1)求抛物线的表达式;(2)在抛物线...
问题详情:
如图,抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一个交点为B.
(1)求抛物线的表达式;
(2)在抛物线上求点M,使△MOB的面积是△AOB面积的3倍;
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点N,使△OBN与△OAB相似?若存在,求出点N坐标;若不存在,说明理由.
【回答】
解:(1)设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+1.
∵抛物线经过原点(0,0),代入,得a=-.
∴y=-(x-2)2+1.
(2)设点M(a,b),S△AOB=×4×1=2.
则S△MOB=6,∴点M必在x轴下方.
∴×4×|b|=6.∴b=-3.
将y=-3代入y=-(x-2)2+1中,得
x=-2或6.
∴点M的坐标为(-2,-3)或(6,-3).
(3)存在.∵△OBN相似于△OAB,
相似比OA∶OB=∶4,
∴S△AOB∶S△OBN=5∶16.
而S△AOB=2.∴S△OBN=.
设点N(m,n),点N在x轴下方.
S△OBN=×4×|n|=.n=-.
将其代入抛物线表达式,求得横坐标为2±,
∴存在点N,使△OBN与△OAB相似,点N的坐标为(2±,-).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题
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