已知三點O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲線C上任意一點M(x,y)滿足|+|=·(+)+2.(1...

問題詳情：

已知三點O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲線C上任意一點M(x,y)滿足|+|=·(+)+2.

(1)求曲線C的方程;

(2)動點Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲線C上,曲線C在點Q處的切線為l.問:是否存在定點P(0,t)(t<0),使得l與PA,PB都相交,交點分別為D,E,且△QAB與△PDE的面積之比是常數?若存在,求t的值.若不存在,說明理由.

【回答】

解:(1)依題意可得=(-2-x,1-y),

=(2-x,1-y),

|+|=,

·(+)=(x,y)·(0,2)=2y,

由已知得=2y+2,

化簡得曲線C的方程:x2=4y.

(2)假設存在點P(0,t)(t<0)滿足條件,

則直線PA的方程是y=x+t,

直線PB的方程是y=x+t,

曲線C在點Q處的切線l的方程為y=x-,

它與y軸的交點為F(0,-),

由於-2<x0<2,

因此-1<<1.

①當-1<t<0時,-1<<-,存在x0∈(-2,2),使得=,即l與直線PA平行,故當-1<t<0時,不符合題意.

②當t≤-1時,≤-1<,≥1>,

所以l與直線PA,PB一定相交,

分別聯立方程組

解得D,E的橫座標分別是

xD=,xE=.

則xE-xD=,

又|FP|=--t,

有S△PDE=|FP|×|xE-xD|=×,

又S△QAB=×4×(1-)=.

於是=×

=×

對任意x0∈(-2,2),要使△QAB與△PDE的面積之比是常數,只需t滿足

解得t=-1,此時△QAB與△PDE的面積之比為2,

故存在t=-1,使△QAB與△PDE的面積之比是常數2.  

知識點：平面向量

題型：解答題