如圖,在平面直角座標系中,菱形ABCD的邊AB在x軸上,點B座標(﹣3,0),點C在y軸正半軸上,且sin∠C...
問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,菱形ABCD的邊AB在x軸上,點B座標(﹣3,0),點C在y軸正半軸上,且sin∠CBO=,點P從原點O出發,以每秒一個單位長度的速度沿x軸正方向移動,移動時間為t(0≤t≤5)秒,過點P作平行於y軸的直線l,直線l掃過四邊形OCDA的面積為S.
(1)求點D座標.
(2)求S關於t的函式關係式.
(3)在直線l移動過程中,l上是否存在一點Q,使以B、C、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形?若存在,直接寫出Q點的座標;若不存在,請說明理由.
【回答】
(1)D(5,4);(2)見解析;(3)點Q座標為(,)或(4,1)或(1,﹣3).
【解析】
(1)在Rt△BOC中,OB=3,sin∠CBO=,設CO=4k,BC=5k,根據BC2=CO2+OB2,可得25k2=16k2+9,推出k=1或﹣1(捨棄),求出菱形的邊長即可解決問題;
(2)①如圖1中,當0≤t≤2時,直線l掃過的圖象是四邊形CCQP,S=4t;②如圖2中,當2<t≤5時,直線l掃過的圖形是五邊形OCQTA.分別求解即可解決問題;
(3)畫出符合條件的圖形,分三種情形分別求解即可解決問題;
【詳解】
(1)在Rt△BOC中,OB=3,sin∠CBO=,設CO=4k,BC=5k,
∵BC2=CO2+OB2,
∴25k2=16k2+9,
∴k=1或﹣1(捨去),
BC=5,OC=4,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴CD=BC=5,
∴D(5,4);
(2)①如圖1中,當0≤t≤2時,直線l掃過的圖象是四邊形CCQP,S=4t.
②如圖2中,當2<t≤5時,直線l掃過的圖形是五邊形OCQTA.
S=S梯形OCDA﹣S△DQT=×(2+5)×4﹣×(5﹣t)×(5﹣t)=﹣t2+t﹣,
∴;
(3)如圖3中,①當QB=QC,∠BQC=90°,Q(,);
②當BC=CQ′,∠BCQ′=90°時,Q′(4,1);
③當BC=BQ″,∠CBQ″=90°時,Q″(1,﹣3);
綜上所述,滿足條件的點Q座標為(,)或(4,1)或(1,﹣3).
【點睛】
本題考查四邊形綜合題、菱形的*質、等腰直角三角形的判定和*質等知識,解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題,學會構建方程解決問題.
知識點:銳角三角函式
題型:解答題
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