如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D分別在兩個半圓上（不與點A、B重合），AD、BD的長分別是關於x的方程＝0的兩...

問題詳情：

如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D分別在兩個半圓上（不與點A、B重合），AD、BD的長分別是關於x的方程＝0的兩個實數根．

（1）求m的值；

（2）連線CD，試探索：AC、BC、CD三者之間的等量關係，並說明理由；

（3）若CD＝，求AC、BC的長．

【回答】

解：（1）由題意，得　b2－4ac≥0．

∴≥0．

化簡整理，得　≥0．··················· 2分

∴≤0，即≤0．·················· 3分

又∵≥0，

∴＝5．······························· 4分

（2）AC＋BC＝CD．······················· 6分

理由是：如圖，由（1），得　當m＝5時，b2－4ac．

∴ AD＝BD．······························ 7分

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°．

將△ADC繞點D逆時針旋轉90°後，得△BDE．

∴△ADC≌△BDE．

∴∠DAC＝∠DBE．

∵∠DAC＋∠DBC＝180°，

∴∠DBE＋∠DBC＝180°．

∴點C、B、E三點共線．

∴△CDE為等腰直角三角形．······················ 9分

∴CE＝CD．

即AC＋BC＝CD．······················· 10分

（3）由（1），得　當m＝5時，b2－4ac．

∴ AD＝BD＝5．

∵∠ACB＝∠ADB＝90°，

∴AB＝10．    11分

∴AC2＋BC2＝102＝100．　①····················· 11分

由（2）得，AC＋BC＝CD＝7＝14．　②··········· 12分

由① ②解得AC＝6，BC＝8或AC＝8，BC＝6．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題