設x,y,z為非零實數,滿足xy+yz+zx=1,*:.
問題詳情:
設x,y,z為非零實數,滿足xy+yz+zx=1,*:.
【回答】
不等式的*一般可以考慮運用作差法或者是利用分析法來*.
【解析】
試題分析:為使所*式有意義,三數中至多有一個為0;據對稱*,不妨設,則;
、當時,條件式成為,,,而
,
只要*,,即,也即,此為顯然;取等號若且唯若.
、再*,對所有滿足的非負實數,皆有
.顯然,三數中至多有一個為0,據對稱*,
仍設,則,令,為銳角,以為內角,構作,則,於是,且由知,;於是,即是一個非鈍角三角形.
下面採用調整法,對於任一個以為最大角的非鈍角三角形,固定最大角,將調整為以為頂角的等腰,其中,且設,記,據知,
.今*,.即
……①.
即要*……②
先*……③,即*,
即,此即,也即
,即,此為顯然.
由於在中,,則;而在中,
,因此②式成為
……④,
只要*,……⑤,即*,注意③式以及
,只要*,即,也即…⑥
由於最大角滿足:,而,則,所以
,故⑥成立,因此⑤得*,由③及⑤得④成立,從而①成立,即,因此本題得*.
考點:不等式的*
點評:主要是考查了不等式的*,方法比較多,一般是分析法和作差法建構函式法,屬於難度題.
知識點:不等式選講
題型:解答題
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