已知：如圖1，線段AB、CD相交於點O，連線AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：...

問題詳情：

已知：如圖1，線段AB、CD相交於點O，連線AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：

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（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關係：______；

（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數：______個；

（3）在圖2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交於點P，並且與CD、AB分別相交於M、N．利用（1）的結論，試求∠P的度數；

（4）如果圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數量關係．（直接寫出結論即可）

【回答】

【解答】解：（1）在△AOD中，∠AOD=180°﹣∠A﹣∠D，

在△BOC中，∠BOC=180°﹣∠B﹣∠C，

∵∠AOD=∠BOC（對頂角相等），

∴180°﹣∠A﹣∠D=180°﹣∠B﹣∠C，

∴∠A+∠D=∠B+∠C；

（2）交點有點M、O、N，

以M為交點有1個，為△AMD與△CMP，

以O為交點有4個，為△AOD與△COB，△AOM與△CON，△AOM與△COB，△CON與△AOD，

以N為交點有1個，為△ANP與△CNB，

所以，“8字形”圖形共有6個；

（3）∵∠D=40°，∠B=36°，

∴∠OAD+40°=∠OCB+36°，

∴∠OCB﹣∠OAD=4°，

∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線，

∴∠DAM=∠OAD，∠PCM=∠OCB，

又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，

∴∠P=∠DAM+∠D﹣∠PCM=（∠OAD﹣∠OCB）+∠D=×（﹣4°）+40°=38°；

（4）根據“8字形”數量關係，∠OAD+∠D=∠OCB+∠B，∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，

所以，∠OCB﹣∠OAD=∠D﹣∠B，∠PCM﹣∠DAM=∠D﹣∠P，

∵AP、CP分別是∠DAB和∠BCD的角平分線，

∴∠DAM=∠OAD，∠PCM=∠OCB，

∴（∠D﹣∠B）=∠D﹣∠P，

整理得，2∠P=∠B+∠D．

知識點：相交線

題型：綜合題