已知四邊形ABCD中，P是對角線BD上的一點，過P作MN∥AD，EF∥CD，分別交AB、CD、AD、BC於點M...

問題詳情：

已知四邊形ABCD中，P是對角線BD上的一點，過P作MN∥AD，EF∥CD，分別交AB、CD、AD、BC於點M、N、E、F，設＝PM・PE，＝PN・PF，解答下列問題：

（1）當四邊形ABCD是矩形時，見圖1，請判斷與的大小關係，並說明理由；

（2）當四邊形ABCD是平行四邊形，且∠A為銳角時，見圖2，（1）中的結論是否成立？並說明理由；

（3）在（2）的條件下，設，是否存在這樣的實數，使得？若存在，請求出滿足條件的所有的值；若不存在，請說明理由。

【回答】

解：（1） ∵ABCD是矩形，MN∥AD，EF∥CD

∴四邊形PEAM、PNCF也均為矩形

∴＝PM・PE＝，＝PN・PF＝

又∵BD是對角線

∴△PMB≌△BFP，△PDE≌△DPN，△DBA≌△DBC

∵，

∴＝

∴

（2）成立，理由如下：

∵ABCD是平行四邊形，MN∥AD，EF∥CD

∴四邊形PEAM、PNCF也均為平行四邊形

仿（1）可*

過E作EH⊥MN於點H，則；

∴

同理可得

又∵∠MPE＝∠FPN＝∠A

∴

∴PM・PE＝PN・PF，即

（3）方法1：存在，理由如下：

由（2）可知，

 ∴

又∵，即，

而，

∴

即

∴，

故存在實數或，使得

方法2：存在，理由如下：

連結AP，設△PMB、△PMA、△PEA、△PED的面積分別為、、、，

即，

即    ∴

∴

即

∴

∴，

故存在實數或，使得

知識點：平行四邊形

題型：計算題