.如圖，在四邊形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC．（1）求∠A+∠C的度數。   （2）連接...

問題詳情：

.如圖，在四邊形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC．

（1）求∠A+∠C的度數。   

（2）連接BD，探究AD，BD，CD三者之間的數量關係，並說明理由。   

（3）若AB=1，點E在四邊形ABCD內部運動，且滿足 ，求點E運動路徑的長度。   

【回答】

（1）解：在四邊形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°， ∴∠A+∠C=360°-∠B-∠C=360°-60°-30°=270°。 （2）解：如圖，將△BCD繞點B逆時針旋轉60°，得到△BAQ，連接DQ， ∵BD=BQ，∠DBQ=60°， ∴△BDQ是等邊三角形， ∴BD=DQ， ∵∠BAD+∠C=270°， ∴∠BAD+∠BAQ=270°， ∴∠DAQ=360°-270°=90°， ∴△DAQ是直角三角形 ∴AD2+AQ2=DQ2  ， 即AD2+CD2=BD2 （3）解：如圖，將△BCE繞點B逆時針旋轉60°，得到△BAF，連接EF， ∵BE=BF，∠EBF=60°， ∴△BEF是等邊三角形， ∴EF=BE，∠BFE=60°， ∵AE2=BE2+CE2 ∴AE2=EF2+AF2 ∴∠AFE=90° ∴∠BFA=∠BFE+∠AFE=60°+90°=150°， ∴∠BEC=150°， 則動點E在四邊形ABCD內部運動，滿足∠BEC=150°，以BC爲邊向外作等邊△OBC， 則點E是以O爲圓心，OB爲半徑的圓周上運動，運動軌跡爲BC， ∵OB=AB=1， 則BC= =

【考點】等邊三角形的判定與*質，勾股定理的逆定理，多邊形內角與外角，弧長的計算，旋轉的*質  

【解析】【分析】（1）根據四邊形內角和爲360度，結合已知條件即可求出*. （2）將△BCD繞點B逆時針旋轉60°，得到△BAQ，連接DQ（如圖），由旋轉*質和等邊三角形判定得△BDQ是等邊三角形，由旋轉*質根據角的計算可得△DAQ是直角三角形，根據勾股定理得AD2+AQ2=DQ2  ， 即AD2+CD2=BD2. （3）將△BCE繞點B逆時針旋轉60°，得到△BAF，連接EF(如圖)，由等邊三角形判定得△BEF是等邊三角形，結合已知條件和等邊三角形*質可得AE2=EF2+AF2  ， 即∠AFE=90°，從而得出∠BFA=∠BEC=150°，從而得出點E是在以O爲圓心，OB爲半徑的圓周上運動，運動軌跡爲BC，根據弧長公式即可得出*.

知識點：各地中考

題型：解答題