已知函數.（1）當時，求函數的單調區間和極值；（2）若不等式恆成立，求的值.

問題詳情：

已知函數.

（1）當時，求函數的單調區間和極值；

（2）若不等式恆成立，求的值.

【回答】

【詳解】（1）a＝1時，f（x）＝，f′（x）＝，

令f′（x）＝＝0，解得x＝e.

可得函數f（x）的單調遞增區間爲（0，e），單調遞減區間爲（e，+∞），可得極大值爲f（e）＝，爲極小值.

（2）由題意可得：x＞0，由不等式恆成立，即x﹣1﹣alnx≥0恆成立.

令g（x）＝x﹣1﹣alnx≥0，g（1）＝0，x∈（0，+∞）.

g′（x）＝1﹣＝.

①若a＜0，則函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增，又g（1）＝0，∴x∈（0，1）時，g（x）＜0，不符合題意，捨去.

②若0＜a＜1，則函數g（x）在（a，+∞）上g′（x）＞0，即函數g（x）單調遞增，又g（1）＝0，∴x∈（a，1）時，g（x）＜0，不符合題意，捨去.

③若a＝1，則函數g（x）在（1，+∞）上g′（x）＞0，即函數g（x）單調遞增，x∈（a，1）時，g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減.

∴x＝1時，函數g（x）取得極小值即最小值，又g（1）＝0，∴x＞0時，g（x）≥0恆成立.

③若1＜a，則函數g（x）在（0，a）上g′（x）＜0，即函數g（x）單調遞減，又g（1）＝0，∴x∈（1，a）時，g（x）＜0，不符合題意，捨去.

綜上可得：a＝1.

知識點：基本初等函數I

題型：解答題